Avalie as integrais usando frações parciais:
integral 1x(x^2+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1x,(x^2+4)^2,dx usando decomposição em frações parciais. O conteúdo envolve a técnica de frações parciais e integração de funções do tipo 1/x, x/(x^2+a^2) e x/(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Escrevemos a fração como soma de termos a descobrir:
1x,(x^2+4)^2=Ax+Bx+Cx^2+4+Dx+E(x^2+4)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x,(x^2+4)^2 e igualamos coeficientes de potências de x:
1=A(x^2+4)^2+(Bx+C)x(x^2+4)+(Dx+E)x
Comparando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=0, C=0, 8A+4B+D=0, 4C+E=0,16A=1
Daqui resulta A=1/16, B=-1/16, C=0, D=-1/4 e E=0.

Passo 4

Substituindo esses valores, a decomposição fica:
1x(x^2+4)^2=116x-x16(x^2+4)-x4(x^2+4)^2
Logo a integral se separa em:
integral1x(x^2+4)^2,dx=116integraldxx-116integralx,dxx^2+4-14integralx,dx(x^2+4)^2

Passo 5

Calculamos as duas primeiras integrais:
  • I1=integraldxx=ln|x|
  • I2=integralx,dxx^2+4. Fazendo u=x^2+4 du=2x,dx, então
I2=12integralduu=12ln(x^2+4)

Passo 6

Para a terceira integral, use u=x^2+4 de novo:
I3=integralx,dx(x^2+4)^2=12integral u^-2,du=-12u=-12(x^2+4)
Substituindo em cada termo e somando, temos:
$$
\int\frac{1}{x(x2+4)2},dx=\frac{1}{16}\ln|x|-\frac{1}{16}\cdot\frac12\ln(x2+4)-\frac{1}{4}\biggl(-\frac{1}{2(x2+4)}\biggr)+C. integral1x(x^2+4)^2,dx=116ln|x|-116cdot12ln(x^2+4)-14gl(-12(x^2+4)gr)+C
\frac{1}{16}\ln|x|-\frac{1}{32}\ln(x2+4)+\frac{1}{8(x2+4)}+C.
$$

Resposta

integral1x(x^2+4)^2,dx=116ln|x|-132ln(x^2+4)+18(x^2+4)+C

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