Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral $ \int \theta \cos \pi \theta , d\theta $ usando a técnica de integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui onde temos $ \theta $ e $ \cos \pi \theta $. A gente vai precisar lembrar da fórmula da integração por partes e identificar qual parte da integral será $ u $ e qual será $ dv $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos escolher quais funções serão $ u $ e $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ para ser a função que se simplifica quando derivada, e $ dv $ para ser a parte que fica fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
- $ u = \theta
du = d\theta $ - $ dv = \cos \pi \theta , d\theta $ → Vamos integrar $ dv $ para encontrar $ v $.
Passo 3
Vamos encontrar $ v $ integrando $ dv $:
Sabemos que a integral de $ \cos a x $ é $ \frac{\sin a x}{a} $. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agora, precisamos calcular a integral $ \int \sin \pi \theta , d\theta $.
Passo 6
Integrando $ \sin \pi \theta $:
Sabemos que a integral de $ \sin a x $ é $ -\frac{\cos a x}{a} $. Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando os sinais:
Resposta
A integral
é igual a: