Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral theta cos pi theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral $ \int \theta \cos \pi \theta , d\theta $ usando a técnica de integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui onde temos $ \theta $ e $ \cos \pi \theta $. A gente vai precisar lembrar da fórmula da integração por partes e identificar qual parte da integral será $ u $ e qual será $ dv $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Agora, precisamos escolher quais funções serão $ u $ e $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ para ser a função que se simplifica quando derivada, e $ dv $ para ser a parte que fica fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
  • $ u = \theta u du = d\theta $
  • $ dv = \cos \pi \theta , d\theta $ → Vamos integrar $ dv $ para encontrar $ v $.

Passo 3

Vamos encontrar $ v $ integrando $ dv $:
v
Sabemos que a integral de $ \cos a x $ é $ \frac{\sin a x}{a} $. Aplicando isso aqui:
dv

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral theta cos pi theta , dtheta = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= theta cdot sin pi thetapi - integral sin pi thetapi cdot dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= theta sin pi thetapi - 1pi integral sin pi theta , dtheta
Agora, precisamos calcular a integral $ \int \sin \pi \theta , d\theta $.

Passo 6

Integrando $ \sin \pi \theta $:
Sabemos que a integral de $ \sin a x $ é $ -\frac{\cos a x}{a} $. Então:
sin pi theta

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
theta sin pi thetapi - 1pi ( -cos pi thetapi ) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando os sinais:
= theta sin pi thetapi + cos pi thetapi^2 + C

Resposta

A integral integral theta cos pi theta , dtheta é igual a:
theta sin pi thetapi + cos pi thetapi^2 + C

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