Avalie as integrais usando frações parciais:
integral x^2+3 x-1x^3-x d x

Passo 1

Temos a integral integral x^2+3x-1x^3-x,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional: vamos fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)
Então propomos a forma
x^2+3x-1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 3

Multiplicando por x(x-1)(x+1) obtemos
x^2 + 3x - 1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)
Expandindo cada parte:
A(x^2 - 1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x) = (A+B+C)x^2 + (B-C)x + (-A)
Igualando a x^2+3x-1 gera o sistema:
A + B + C = 1, B - C = 3, - A = -1
Daí A=1. Substituindo em A+B+C=1 B+C=0, e de B-C=3 vem B=tfrac32, C=-tfrac32.

Passo 4

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral (1x + 3/2x-1 - 3/2x+1) dx
Agora integramos termo a termo:
integral 1x dx = ln|x|, integral 3/2x-1 dx = tfrac32ln|x-1|, integral -3/2x+1 dx = -tfrac32ln|x+1|

Resposta

ln|x| + tfrac32ln|x-1| - tfrac32ln|x+1| + C

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