Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral(p^2+p+1) e^-p d p

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral (p^2 + p + 1)e^-p,dp usando integração por partes. O conteúdo é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar escolher partes adequadas para u e dv e aplicar a fórmula repetidamente.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em três parcelas mais simples:
integral (p^2 + p + 1)e^-p,dp = integral p^2 e^-p,dp + integral p e^-p,dp + integral e^-p,dp

Passo 3

Em seguida, calculamos integral p e^-p,dp por partes. Seja
u = p, dv = e^-p,dp
então
du = dp, v = integral e^-p,dp = -e^-p

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral p e^-p,dp = u,v - integral v,du = -p e^-p - integral(-e^-p),dp = -p e^-p + integral e^-p,dp = -p e^-p - e^-p = -(p+1)e^-p

Passo 5

Agora, calculamos integral p^2 e^-p,dp por partes, usando o resultado anterior para a parte que sobra. Seja
u = p^2, dv = e^-p,dp,
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du = 2p,dp, v = -e^-p

Passo 6

Então:
integral p^2 e^-p,dp = u,v - integral v,du = -p^2 e^-p - integral(-e^-p)2p,dp = -p^2 e^-p + 2integral p e^-p,dp

Passo 7

Substituindo integral p e^-p,dp = -(p+1)e^-p:
integral p^2 e^-p,dp = -p^2 e^-p + 2l[-(p+1)e^-pr] = -l(p^2 + 2p + 2r)e^-p

Passo 8

Por fim, integral e^-p,dp = -e^-p Agora somamos tudo:
integral (p^2 + p + 1)e^-p,dp = -l(p^2 + 2p + 2r)e^-p + l[-(p+1)e^-pr] + (-e^-p)

Passo 9

Agrupando e simplificando:
-l(p^2 + 2p + 2 + p + 1 + 1r)e^-p = -l(p^2 + 3p + 4r)e^-p

Resposta

-l(p^2 + 3p + 4r)e^-p + C

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