Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral0^pi / 2 theta^2 sin 2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi/2 theta^2sin(2theta),dtheta usando partes. O conteúdo principal é a fórmula de integração por partes: integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos aplicar isso duas vezes.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação u=theta^2 e dv=sin(2theta),dtheta. Então du=2theta,dtheta e v=integralsin(2theta),dtheta = -tfrac12cos(2theta). Substituindo na fórmula de partes obtemos a primitiva:
integral theta^2sin(2theta),dtheta = -tfrac12theta^2cos(2theta) + integral thetacos(2theta),dtheta

Passo 3

Para calcular integral thetacos(2theta),dtheta aplicamos partes de novo, com u=theta e dv=cos(2theta),dtheta. Assim du=dtheta e v=integralcos(2theta),dtheta = tfrac12sin(2theta). Logo:
integral thetacos(2theta),dtheta = tfrac12thetasin(2theta) - integral tfrac12sin(2theta),dtheta = tfrac12thetasin(2theta) + tfrac14cos(2theta) + C

Passo 4

Substituindo esse resultado na primitiva geral, conseguimos:
integral theta^2sin(2theta),dtheta = -tfrac12theta^2cos(2theta) + tfrac12thetasin(2theta) + tfrac14cos(2theta) + C

Passo 5

Agora avaliamos entre 0 e pi/2. Em theta=pi/2 temos cos (pi)= -1, sin (pi)=0, dando
-tfrac12l(tfracpi2r)^2(-1)+0+tfrac14(-1)=tfracpi^28-tfrac14
Em theta=0 o valor é 0+0+tfrac14=tfrac14. Subtraindo, o resultado definitivo é
l(tfracpi^28-tfrac14r)-tfrac14=tfracpi^28-tfrac12

Resposta

integral0^pi/2 theta^2sin(2theta),dtheta = pi^28-12

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