Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral0^pi / 2 x^3 cos 2 x d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral
I = integral0^tfracpi2 x^3 cos 2x , dx
usando a técnica de integração por partes sucessivas.

Passo 2

Primeira aplicação de integração por partes. Escolhemos
u = x^3, dv = cos2x,dx
Então
du = 3x^2,dx, v = integral cos2x,dx = tfrac12sin2x
Pela fórmula de partes,
I = l[tfracx^32sin2xr]0^pi/2 - tfrac32 integral0^pi/2 x^2 sin2x,dx
O termo de contorno vale zero, então definimos
J = integral0^pi/2 x^2 sin2x,dx
e obtemos
I = -tfrac32J

Passo 3

Segunda aplicação de partes em
J = integral0^pi/2 x^2 sin2x,dx
Escolhemos
u = x^2, dv = sin2x,dx
Logo
du = 2x,dx, v = integral sin2x,dx = -tfrac12cos2x
Então
J = l[-tfracx^22cos2xr]0^pi/2 + integral0^pi/2 xcos2x,dx
O contorno dá pi^2/8, e definimos
K = integral0^pi/2 xcos2x,dx
para escrever
J = tfracpi^28 + K

Passo 4

Terceira aplicação de partes para
K = integral0^pi/2 xcos2x,dx
Tomamos
u = x, dv = cos2x,dx
Então
du = dx, v = tfrac12sin2x
Logo
K = l[tfracx2sin2xr]0^pi/2 - tfrac12integral0^pi/2sin2x,dx
O contorno é zero e
integral0^pi/2sin2x,dx = 1,
logo
K = -tfrac12

Passo 5

Agora retornamos a
I = -tfrac32J
com
J = tfracpi^28 + K = tfracpi^28 - tfrac12
e
K = -tfrac12
Substituindo,
I = -tfrac32l(tfracpi^28 - tfrac12r) = -tfrac3pi^216 + tfrac34 = tfrac316(4 - pi^2)

Resposta

316l(4 - pi^2r)

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