Use a transformada de Laplace para resolver as equações diferenciais dadas sujeita às condições iniciais fornecidas.
Passo 1
O problema é: encontrar a solução da equação diferencial de primeira ordem
sujeita à condição inicial
, usando a transformada de Laplace. O conteúdo que vamos aplicar inclui a definição da transformada de Laplace, a propriedade da transformada da derivada e a tabela básica de transformadas.
Passo 2
Primeiro aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação
. Lembrando que
e
, temos:
Substituindo as expressões:
Como
, fica
Passo 3
Isolamos
:
$$
Y(s) = \frac{1}{s(s - 1)}
\frac{1}{s(s - 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1}$$
Determinando
e
:
Escolhendo
:
logo
.
Escolhendo :
logo
.
Portanto
Escolhendo
Portanto
$$
Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1}$$
Passo 4
Agora aplicamos a transformada inversa:
e
. Assim:
Resposta
y(t) = e^{t} - 1