Use a transformada de Laplace para resolver as equações diferenciais dadas sujeita às condições iniciais fornecidas.
y^prime-y=1, y(0)=0

Passo 1

O problema é: encontrar a solução da equação diferencial de primeira ordem y' - y = 1 sujeita à condição inicial y(0)=0, usando a transformada de Laplace. O conteúdo que vamos aplicar inclui a definição da transformada de Laplace, a propriedade da transformada da derivada e a tabela básica de transformadas.

Passo 2

Primeiro aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação y' - y = 1. Lembrando que Ly'(t) = sY(s) - y(0) e Ly(t) = Y(s), temos:
Ly'(t) - Ly(t) = L1
Substituindo as expressões:
l(sY(s) - y(0)r) - Y(s) = 1s
Como y(0)=0, fica
(sY(s) - 0) - Y(s) = 1s
(s - 1),Y(s) = 1s

Passo 3

Isolamos Y(s):
$$
Y(s) = \frac{1}{s(s - 1)} Y(s) = 1s(s - 1)çõ\frac{1}{s(s - 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1}$$
Determinando 1/[s(s-1)] e 1s(s - 1) = As + Bs - 1:
A
Escolhendo B: 1 = A(s - 1) + Bs logo s=0.
Escolhendo 1 = A(-1): A = -1 logo s=1.
Portanto
$$
Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1}$$

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa: L^-11/s = 1 e L^-11/(s - 1) = e^t. Assim:
y(t) = -1 + e^t

Resposta

y(t) = e^{t} - 1

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