Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral x sin x2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral $ \int x \sin \frac{x}{2} , dx $ usando a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando a integral é o produto de duas funções, e precisamos separar essas funções para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = sin x2 , dx
Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $.

Passo 4

Calculando $ du $:
du
E para encontrar $ v $, integramos $ dv $:
du = ddx(x) , dx = 1 , dx
Para isso, fazemos uma substituição simples.

Passo 5

Vamos integrar $ \sin \frac{x}{2} $:
sin x2
Desprezamos a constante de integração $ C $ nesse contexto.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sin x2 , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-2 cos x2) - integral (-2 cos x2) cdot 1 , dx

Passo 7

Simplificando:
= -2x cos x2 + 2 integral cos x2 , dx
Agora, precisamos integrar $ \cos \frac{x}{2} $.

Passo 8

Integrando $ \cos \frac{x}{2} $:
cos x2
Novamente, descartamos a constante de integração $ C $.

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
-2x cos x2 + 2 cdot 2 sin x2 = -2x cos x2 + 4 sin x2

Resposta

Portanto, a integral avaliada é:
integral x sin x2 , dx = -2x cos x2 + 4 sin x2 + C
onde $ C $ é a constante de integração.

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