Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral $ \int x \sin \frac{x}{2} , dx $ usando a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando a integral é o produto de duas funções, e precisamos separar essas funções para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $.
Passo 4
Calculando $ du $:
E para encontrar $ v $, integramos $ dv $:
Para isso, fazemos uma substituição simples.
Passo 5
Vamos integrar $ \sin \frac{x}{2} $:
Desprezamos a constante de integração $ C $ nesse contexto.
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificando:
Agora, precisamos integrar $ \cos \frac{x}{2} $.
Passo 8
Integrando $ \cos \frac{x}{2} $:
Novamente, descartamos a constante de integração $ C $.
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
Portanto, a integral avaliada é:
onde $ C $ é a constante de integração.