Use a regra da substituição para calcular as integrais a seguir.
integral-1 / 15^0 u(1+u^2)^3 / 2 d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
a seguir usando a regra da substituição:
integral-1/15^0 u(1+u^2)^3/2,du,
O conteúdo envolve mudança de variável em integrais e a fórmula de integração de potências.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
t = 1 + u^2
Daí
dt = 2u,duimplies u,du = dt2
Precisamos também atualizar os limites:
  • Quando u = -1/15, t = 1 + (-1/15)^2 = 1 + 1/225 = 226225
  • Quando u = 0, t = 1 + 0^2 = 1

Passo 3

Substituindo na integral original, vem
integral-1/15^0 u(1+u^2)^3/2,du = integralt=226/225^t=1 1t^3/2 cdot dt2 = 12 integral226/225^1 t^-3/2,dt
Para integrar t^-3/2, usamos
integral t^-3/2,dt = -2,t^-1/2 + C

Passo 4

Aplicando a primitiva e avaliando de t=226/225 até t=1:
12 l[-2,t^-1/2r]226/225^1 = -l[t^-1/2r]226/225^1 = -l(1^-1/2 - (226/225)^-1/2r) = -l(1 - raiztfrac225226r) = raiztfrac225226 - 1
Como raiz225 = 15, podemos escrever
raiztfrac225226 = 15raiz226

Passo 5

Portanto, o valor da integral é

Passo 6

15raiz226 - 1

Resposta

15raiz226 - 1

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