Use a regra da substituição para calcular as integrais a seguir.
integral0^pi / 6 cos ^-3(2 theta) sin 2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi/6 cos^-3(2theta),sin(2theta),dtheta. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, e vamos precisar escolher uma nova variável que elimine o sin(2theta),dtheta e simplifique cos^-3(2theta).

Passo 2

Escolhemos como substituição u = cos(2theta). Calculando a diferencial, temos:
du = -2sin(2theta),dtheta
Portanto podemos isolar:
sin(2theta),dtheta = -tfrac12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, e também convertendo os limites de theta para u: quando theta = 0, u(0) = cos(0) = 1; quando theta = pi/6, u(pi/6) = cos(pi/3) = tfrac12. Assim:
integral0^pi/6 cos^-3(2theta),sin(2theta),dtheta = integralu=1^u=1/2 u^-3l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral1^1/2 u^-3,du

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada de u^-3:
-tfrac12integral1^1/2 u^-3,du = -tfrac12[u^-2-2]1^1/2 = 14l[u^-2r]1^1/2

Passo 5

Por fim, aplicando os limites em u^-2:
14l[l(tfrac12r)^-2 - 1^-2r] = 14(4 - 1) = 34

Resposta

tfrac34

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