Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral2 / raiz3^2 t sec ^-1 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral2/raiz3^2 t,sec^-1t,dt usando integração por partes. O conteúdo envolve a definição de u e dv, aplicação da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, e depois avaliar a primitiva nos limites dados.

Passo 2

Escolhemos u = sec^-1t e dv = t,dt. Assim temos:
du = 1traizt^2 - 1,dt,
v = integral t,dt = t^22

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral tsec^-1t,dt = u,v - integral v,du = t^22sec^-1t - integral t^22cdot 1traizt^2-1,dt Simplificando a integral remanescente:
integral t^22cdot 1traizt^2-1,dt = 12integral traizt^2-1,dt

Passo 4

Para calcular integral traizt^2-1,dt, fazemos a substituição w = t^2 - 1, dw = 2t,dt, logo
integral traizt^2-1,dt = integral 12,w^-1/2,dw = w^1/2 = raizt^2-1 Portanto a primitiva fica
F(t) = t^22sec^-1t - 12raizt^2-1 + C

Passo 5

Agora avaliamos nos limites t = 2/raiz3 até t = 2:
F(2) = 2^22sec^-1(2) - 12raiz4-1 = 2sec^-1(2) - raiz32,
Fl(tfrac2raiz3r) = (2/raiz3)^22sec^-1l(tfrac2raiz3r) - 12raiztfrac43-1 = 23cdotpi6 - 12cdot1raiz3 = pi9 - raiz36

Passo 6

Subtraindo e usando sec^-1(2)=pi/3:
I = F(2) - Fl(tfrac2raiz3r) = l(2cdotpi3 - raiz32r) - l(pi9 - raiz36r) = 2pi3 - pi9 - raiz32 + raiz36 = 5pi9 - raiz33

Resposta

5pi9 - raiz33.

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