Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
\int\left(x^{2}-5 x\right) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx
usando a técnica de integração por partes, que consiste em escolher funções u e dv tais que
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Note que
\int \bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx = \int x^{2}e^{x}\,dx \;-\; 5\int x\,e^{x}\,dx.
Definimos
I_{1} = \int x^{2}e^{x}\,dx, \quad I_{2} = \int x\,e^{x}\,dx
e vamos calcular I_{1} e I_{2} separadamente.

Passo 3

Para
I_{1} = \int x^{2}e^{x}\,dx
escolhemos
u = x^{2},\quad dv = e^{x}\,dx
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du = 2x\,dx,\quad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
I_{1} = x^{2}e^{x} - \int 2x\,e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x\,e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\,I_{2}.

Passo 4

Agora, para
I_{2} = \int x\,e^{x}\,dx
tomamos
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx
de onde
du = dx,\quad v = e^{x}.
Então
I_{2} = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1).

Passo 5

Substituindo I_{2} em I_{1}:
I_{1} = x^{2}e^{x} - 2\,e^{x}(x-1) = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr).
Finalmente, a integral original fica
\int \bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx = I_{1} - 5\,I_{2} = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) \;-\; 5\,e^{x}(x-1).
Fatorando e^{x} e agrupando termos:
\int \bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2 -5x +5\bigr) + C = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr) + C.

Resposta

\boxed{e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr) + C}

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