Use a regra da substituição para calcular as integrais a seguir.
\int_{0}^{\sqrt{7}} t\left(t^{2}+1\right)^{1 / 3} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a regra da substituição, a integral abaixo:
\int_{0}^{\sqrt{7}} t\bigl(t^{2}+1\bigr)^{1/3} \,dt.
Este é um caso clássico em que vemos uma função composta \bigl(t^{2}+1\bigr)^{1/3} e seu derivado aparente 2t, então vamos explorar isso pela substituição.

Passo 2

Definimos a substituição
u = t^{2} + 1,
de onde segue
du = 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração:
quando t=0, temos u = 0^{2}+1 = 1;
quando t=\sqrt{7}, temos u = (\sqrt{7})^{2}+1 = 8.
Substituindo tudo na integral original,
\int_{0}^{\sqrt{7}} t\bigl(t^{2}+1\bigr)^{1/3} dt = \int_{u=1}^{u=8} \bigl(u\bigr)^{1/3}\,\bigl(\tfrac{1}{2}\,du\bigr) = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{8} u^{1/3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{4/3}}{4/3} = \tfrac{3}{4}\,u^{4/3}.
Logo,
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{8} u^{1/3}\,du = \tfrac{1}{2}\;\bigl[\tfrac{3}{4}\,u^{4/3}\bigr]_{1}^{8} = \tfrac{3}{8}\bigl[u^{4/3}\bigr]_{1}^{8} = \tfrac{3}{8}\bigl(8^{4/3}-1^{4/3}\bigr).
Calculamos 8^{4/3}=(\sqrt[3]{8})^{4}=2^{4}=16, então
\tfrac{3}{8}(16-1)=\tfrac{3}{8}\times 15=\tfrac{45}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{45}{8}

Exercícios relacionados