Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
\mathbf{x} \int e^{-2 x} \sin 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\,e^{-2x}\sin(2x)\,dx
usando integração por partes. O conteúdo aqui é justamente aplicar a fórmula de partes duas vezes, e também usar as fórmulas conhecidas
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx \quad\text{e}\quad \int e^{ax}\cos(bx)\,dx.

Passo 2

Primeiro, vamos achar
v = \int e^{-2x}\sin(2x)\,dx.
Usando a fórmula
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx =\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\bigl(a\sin(bx)-b\cos(bx)\bigr),
com a=-2 e b=2, obtemos
v =\frac{e^{-2x}}{(-2)^2+2^2}\bigl((-2)\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr) =\frac{e^{-2x}}{8}\bigl(-2\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr) =-\frac{1}{4}e^{-2x}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
\displaystyle\int x\,e^{-2x}\sin(2x)\,dx
escolhendo
u = x,\quad dv = e^{-2x}\sin(2x)\,dx,
então du=dx e v é o que encontramos no Passo 2. Assim
\int x\,e^{-2x}\sin(2x)\,dx =x\,v-\int v\,du =-\frac{x}{4}e^{-2x}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr) +\frac{1}{4}\int e^{-2x}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Precisamos calcular
\displaystyle\int e^{-2x}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr)\,dx.
Separamos em duas integrais:
  1. Já temos
    \displaystyle\int e^{-2x}\sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{4}e^{-2x}(\sin(2x)+\cos(2x)).
  2. Para
    \displaystyle\int e^{-2x}\cos(2x)\,dx usamos
\int e^{ax}\cos(bx)\,dx =\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\bigl(a\cos(bx)+b\sin(bx)\bigr),
com a=-2, b=2,
\int e^{-2x}\cos(2x)\,dx =\frac{e^{-2x}}{8}\bigl(-2\cos(2x)+2\sin(2x)\bigr) =-\tfrac{1}{4}e^{-2x}\cos(2x)+\tfrac{1}{4}e^{-2x}\sin(2x).
Somando as duas, notamos que os termos em \sin(2x) se cancelam e sobra
\int e^{-2x}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr)\,dx =-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\cos(2x)+C.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3, obtemos
\int x\,e^{-2x}\sin(2x)\,dx =-\frac{x}{4}e^{-2x}\bigl(\sin(2x)+\cos(2x)\bigr) +\frac{1}{4}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\cos(2x)\Bigr)+C.
Fatorando e^{-2x} e simplificando,
\int x\,e^{-2x}\sin(2x)\,dx =-\frac{e^{-2x}}{8}\Bigl(2x\sin(2x)+2x\cos(2x)+\cos(2x)\Bigr)+C =-\frac{e^{-2x}}{8}\Bigl(2x\sin(2x)+(2x+1)\cos(2x)\Bigr)+C.

Resposta

\boxed{ \int x\,e^{-2x}\sin(2x)\,dx =-\frac{e^{-2x}}{8}\Bigl(2x\sin(2x)+(2x+1)\cos(2x)\Bigr)+C }

Exercícios relacionados