Avalie a Integral:
13-integral d xx^3+x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva da função 13 - 1x^3 + x, ou seja integral l(13 - 1x^3+xr),dx. Vamos usar antiderivadas e frações parciais.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes: integrall(13 - 1x(x^2+1)r)dx = integral 13,dx - integral dxx(x^2+1) A primeira é imediata: integral 13,dx = 13x.

Passo 3

Para a segunda parte, fazemos decomposição em frações parciais:
1x(x^2+1) = Ax + Bx + Cx^2+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) obtém-se:
1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A

Passo 5

Comparando coeficientes em ambos os lados dá:
Para x^2: A + B = 0;
Para x: C = 0;
Constante: A = 1.
Logo A=1, B=-1 e C=0, e a integral vira:
integral dxx(x^2+1) = integrall(1x - xx^2+1r)dx

Passo 6

Agora, integramos cada termo:
integral 1xdx = ln|x|,
integral xx^2+1dx = 12ln(x^2+1).

Passo 7

Somando tudo e lembrando do termo 13x, a primitiva é: 13x - ln|x| + tfrac12ln(x^2+1) + C.

Resposta

13x - \ln|x| + \tfrac12\ln(x^2+1) + C

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