Passe para coordenadas polares e calcule:
9.2) integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2) d y d x.

Passo 1

A integral dada é integral-1^1integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2),dy,dx. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais duplas usando o jacobiano. Vamos usar as fórmulas x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

A região de integração em (x,y) é o semicírculo superior de raio 1 (pois x vai de -1 a 1 e y de 0 a raiz1-x^2). Em coordenadas polares isso corresponde a r variando de 0 a 1 e theta de 0 a pi, já que y=rsintheta>=0 acontece para 0<=theta<=pi.
Em polares, temos x^2+y^2=r^2 e o elemento de área dx,dy=r,dr,dtheta. Logo o integrando x^2+y^2 vira r^2, e a integral se transforma em
integraltheta=0^piintegralr=0^1r^2cdot r,dr,dtheta=integral0^piintegral0^1r^3,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em r:
integral0^1r^3,dr=r^44|0^1=14

Passo 4

Depois integramos em theta:
integral0^pi14,dtheta=14,pi=pi4

Resposta

pi4

Exercícios relacionados