Avalie a Integral:
15-integral sin ^2 theta cos ^5 theta d theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a primitiva da função dada por
integrall(15 - sin^2theta,cos^5thetar),dtheta
O conteúdo envolve integração de soma de uma constante e de uma função trigonométrica, usando soma de integrais e substituições.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integral15,dtheta - integralsin^2theta,cos^5theta,dtheta
Assim reduzimos o problema a calcular cada parcela separadamente.

Passo 3

A parte constante é direta:
integral15,dtheta = 15theta

Passo 4

Para integralsin^2theta,cos^5theta,dtheta, fazemos a substituição
u=sintheta e du=costheta,dtheta.
Escrevendo cos^5theta=cos^4thetacdotcostheta e usando cos^2theta=1-u^2, temos
integralsin^2theta,cos^5theta,dtheta = integral u^2,(1-u^2)^2,du
Expandindo e integrando em u:
integral(u^2 - 2u^4 + u^6),du = u^33 - 2u^55 + u^77 + C
Voltando a theta:
sin^3theta3 - 2sin^5theta5 + sin^7theta7 + C

Passo 5

Juntamos tudo:
integrall(15 - sin^2theta,cos^5thetar),dtheta = 15theta - l(sin^3theta3 - 2sin^5theta5 + sin^7theta7r) + C
Simplificando o sinal:
15theta - sin^3theta3 + 2sin^5theta5 - sin^7theta7 + C

Resposta

15\theta - \frac{\sin^3 \theta}{3} + \frac{2\sin^5 \theta}{5} - \frac{\sin^7 \theta}{7} + C

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