Determine se a série sumn=1^infty[e^1 / n-e^1 /(n+1)] converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^inftyl[e^1/n-e^1/(n+1)r] converge e, em caso positivo, encontrar sua soma. O conteúdo principal é séries numéricas telescópicas, e vamos usar a ideia de soma parcial e limite para resolver.

Passo 2

Observando o termo geral tn=e^1/n-e^1/(n+1), percebemos que ele pode ser escrito como diferença de uma sequência an:
an = e^1/n

Passo 3

Dessa forma, o somatório parcial até N fica:
SN = sumn=1^N(an - an+1) = a1 - aN+1

Passo 4

Agora calculamos o limite de SN quando Ntoinfty. Sabendo que limntoinfty1/n = 0, temos limntoinftye^1/n = e^0 = 1.
Logo,
limNtoinftySN = a1 - limNtoinftyaN+1 = e^1/1 - 1 = e - 1

Passo 5

Portanto, a série converge e sua soma é e - 1.

Resposta

e - 1

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