Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial com condição inicial
y(0)=1
y(0)=1
Que é uma EDO de primeira ordem do tipo separável. Vamos isolar x de um lado e y do outro.
Passo 2
Para separar variáveis, reescrevemos a equação de forma que apareça apenas x e dx de um lado, e y e dy do outro:
Aqui usamos o fato de que podemos dividir ambos os lados por teores que dependam apenas de x ou apenas de y.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados da equação separada:
A teoria diz que integrar cada lado nos dá a relação geral entre x e y.
Passo 4
Calculamos as integrais:
Podemos combinar as constantes numa só, chamando-a de C. Logo obtemos
Passo 5
Aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Como e^0=1 e y(0)=1, temos:
Logo
Passo 6
Substituindo C na solução implícita:
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando y:
Portanto
Como queremos y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo e garantimos que o domínio satisfaça 2e^x - 1 ≥ 0.
Passo 7
A solução que atende à condição inicial é a que usa o ramo positivo da raiz, válida para x > ln(1/2).