Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
le^x d x-y d y=0 y(0)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial com condição inicial
y(0)=1
e^x,dx - y,dy = 0
Que é uma EDO de primeira ordem do tipo separável. Vamos isolar x de um lado e y do outro.

Passo 2

Para separar variáveis, reescrevemos a equação de forma que apareça apenas x e dx de um lado, e y e dy do outro:
e^x,dx = y,dy
Aqui usamos o fato de que podemos dividir ambos os lados por teores que dependam apenas de x ou apenas de y.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados da equação separada:
integral e^x,dx = integral y,dy
A teoria diz que integrar cada lado nos dá a relação geral entre x e y.

Passo 4

Calculamos as integrais:
integral e^x,dx = e^x + C1, integral y,dy = y^22 + C2
Podemos combinar as constantes numa só, chamando-a de C. Logo obtemos
e^x = y^22 + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Como e^0=1 e y(0)=1, temos:
1 = 1^22 + C
Logo
C = 12

Passo 6

Substituindo C na solução implícita:
e^x = y^22 + 12
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando y:
y^2 = 2e^x - 1
Portanto
y = pmraiz2e^x - 1
Como queremos y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo e garantimos que o domínio satisfaça 2e^x - 1 ≥ 0.

Passo 7

A solução que atende à condição inicial é a que usa o ramo positivo da raiz, válida para x > ln(1/2).

Resposta

y(x) = raiz2e^x - 1

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