Faça a substituição para expressar o integrando como uma função racional e então avalie a integral:
43-integral x^3raiz[3]x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da expressão 43 - integral x^3raiz[3]x^2+1,dx. O principal será aplicar uma substituição adequada para transformar o integrando num polinômio em termos de uma nova variável.

Passo 2

Definimos a substituição t = raiz[3]x^2+1, logo t^3 = x^2+1. Diferenciando ambos os lados, obtemos 3t^2,dt = 2x,dx, ou seja, x,dx = 32t^2,dt.
Precisamos expressar x^3,dx e raiz[3]x^2+1 em função de t. Temos x^2 = t^3 - 1, então x^3,dx = x^2,(x,dx) = (t^3-1)cdot32t^2,dt, e raiz[3]x^2+1=t. Substituindo na integral:
integralx^3raiz[3]x^2+1,dx = integral (t^3-1)cdot32t^2t,dt = 32integral(t^4 - t),dt

Passo 3

Agora integramos o polinômio em t:
32integral(t^4 - t),dt = 32l(t^55 - t^22r) + C = 310t^5 - 34t^2 + C

Passo 4

Voltando à variável original com t = raiz[3]x^2+1 e montando a expressão final:
43 - integralx^3raiz[3]x^2+1,dx = 43 - l(310(x^2+1)^5/3 - 34(x^2+1)^2/3r) + C

Resposta

43 - (310(x^2+1)^5/3 - 34(x^2+1)^2/3) + C

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