Avalie a Integral:
15-integral0^1 2 x+3(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão
15 - integral0^1 2x+3(x+1)^2,dx.
Estamos lidando com integração de funções racionais e vamos precisar decompor o integrando para aplicar integrais básicas de 1/(x+1) e (x+1)^-2.

Passo 2

Para simplificar o integrando, observamos que
2x + 3 = 2(x+1) + 1
Assim,
2x+3(x+1)^2 = 2(x+1)(x+1)^2 + 1(x+1)^2 = 2x+1 + (x+1)^-2

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
integral0^1 2x+3(x+1)^2,dx = 2 integral0^1 1x+1,dx + integral0^1 (x+1)^-2,dx

Passo 4

Calculamos cada integral:
  1. integral0^1 1x+1,dx = [ln(x+1)]0^1 = ln 2
  2. integral0^1 (x+1)^-2,dx = [-(x+1)^-1]0^1 = -tfrac12 -(-1) = tfrac12
Logo a integral é 2ln 2 + tfrac12.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
15 - l(2ln 2 + tfrac12r) = 15 - tfrac12 - 2ln 2 = tfrac292 - 2ln 2

Resposta

292 - 2ln 2

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