Calcule os seguintes limites envolvendo…
… função trigonométrica: lim x pi2 sen 3 x-12 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função trigonométrica quando $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de certos pontos e como aplicar a substituição direta nos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
limx pi2 sin(3x) - 12x
A ideia aqui é verificar se podemos simplesmente substituir $ x $ por $ \frac{\pi}{2} $ na expressão. Isso é possível se a função for contínua nesse ponto.

Passo 3

A função seno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos substituir diretamente $ x $ por $ \frac{\pi}{2} $ na expressão $ \sin(3x) $. Vamos fazer isso:
x
Sabemos que $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $. Então, substituindo na expressão do limite:
pi2

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador:
-1 - 12 times pi2 = -2pi

Resposta

Portanto, o limite é:
limx pi2 sin(3x) - 12x = -2pi

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