Calcule os seguintes limites envolvendo…
… função trigonométrica:
… função trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função trigonométrica quando $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de certos pontos e como aplicar a substituição direta nos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
A ideia aqui é verificar se podemos simplesmente substituir $ x $ por $ \frac{\pi}{2} $ na expressão. Isso é possível se a função for contínua nesse ponto.
Passo 3
A função seno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos substituir diretamente $ x $ por $ \frac{\pi}{2} $ na expressão $ \sin(3x) $. Vamos fazer isso:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $. Então, substituindo na expressão do limite:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador:
Resposta
Portanto, o limite é: