Avalie a Integral:
7-integral 1x^2 raiz25-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão I = 7 - integral 1x^2raiz25 - x^2,dx. Vamos usar trigonometria (substituição x = 5sintheta) para resolver a parte integral.

Passo 2

Fazendo x = 5sintheta temos
raiz25 - x^2 = 5costheta, dx = 5costheta,dtheta
Substituindo em integral 1x^2raiz25 - x^2,dx:
integral 125sin^2theta cdot 5costhetacdot(5costheta,dtheta) = 125 integral csc^2theta,dtheta

Passo 3

Usando a primitiva integral csc^2theta,dtheta = -cottheta + C, obtemos
integral 1x^2raiz25 - x^2,dx = -125cottheta + C

Passo 4

Voltando para x: de sintheta = tfracx5 decorre
cottheta = costhetasintheta = raiz25 - x^2/5x/5 = raiz25 - x^2x
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integral 1x^2raiz25 - x^2,dx = -125 cdot raiz25 - x^2x + C

Passo 5

Substituindo de volta em I:
I = 7 - l(-raiz25 - x^225xr) + C = 7 + raiz25 - x^225x + C

Resposta

7 + dfracraiz25 - x^225x + C

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