^36) integral(x^4-1)^2 x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular integral (x^4 - 1)^2 x , dx. O conteúdo aqui é integração por substituição e uso da regra de potência para polinômios.

Passo 2

Observação para substituição: note que temos x,dx no integrando. Se definirmos t = x^2, então dt = 2x,dx, o que implica x,dx = dt/2, e ainda temos x^4 = (x^2)^2 = t^2.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos:
integral (x^4 - 1)^2 x , dx = 12 integral (t^2 - 1)^2 , dt
Agora o integrando é um polinômio em t.

Passo 4

Expandimos (t^2 - 1)^2 e aplicamos a regra de potência integral t^n , dt = t^n+1n+1:
(t^2 - 1)^2 = t^4 - 2t^2 + 1,
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12 integral (t^4 - 2t^2 + 1) , dt = 12 ( t^55 - 2 t^33 + t ) + C

Passo 5

Voltando para x via t = x^2 e simplificando a expressão final:
x^1010 - x^63 + x^22 + C

Resposta

x^1010 - x^63 + x^22 + C

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