Avalie a Integral:
21-integral 5 x^2+3 x-2x^3+2 x^2 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a expressão que é 21 menos a integral da função racional f(x)=5x^2+3x-2x^3+2x^2. O conteúdo aqui é integração de função racional por frações parciais, então vamos decompor f(x) em somatórios de termos mais simples para integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^3+2x^2 = x^2(x+2). Como o numerador tem grau 2 e o denominador grau 3, podemos usar a forma de frações parciais:
5x^2+3x-2x^2(x+2) = Ax + Bx^2 + Cx+2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x+2) e igualamos coeficientes:
5x^2+3x-2 = A,x(x+2) + B,(x+2) + C,x^2

Passo 4

Expandindo e coletando termos em potências de x, obtemos
(A+C)x^2 + (2A+B)x + 2B = 5x^2 + 3x -2

Passo 5

Comparando coeficientes:
  • De x^2: A+C=5.
  • De x: 2A+B=3.
  • Constante: 2B=-2 B=-1.
    Substituindo B=-1 em 2A+B=3 2A-1=3 A=2, e daí C=5-2=3.

Passo 6

Logo a integral vira
integral 5x^2+3x-2x^2(x+2),dx = integral l(2x - 1x^2 + 3x+2r) dx

Passo 7

Agora integramos termo a termo usando:
  • integral 1xdx = ln|x|.
  • integral x^-2dx = -1x.
  • integral 1x+2dx = ln|x+2|.
    Então
integral l(2x - 1x^2 + 3x+2r) dx = 2ln|x| + 1x + 3ln|x+2| + C

Passo 8

Como a expressão original é 21 menos essa integral, o resultado final é
21 - l(2ln|x| + tfrac1x + 3ln|x+2|r) + C

Resposta

21 - 2\ln|x| - \frac{1}{x} - 3\ln|x+2| + C

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