Avalie a Integral:
Passo 1
A gente precisa calcular a expressão que é 21 menos a integral da função racional
. O conteúdo aqui é integração de função racional por frações parciais, então vamos decompor
em somatórios de termos mais simples para integrar.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador
. Como o numerador tem grau 2 e o denominador grau 3, podemos usar a forma de frações parciais:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos coeficientes:
Passo 4
Expandindo e coletando termos em potências de
, obtemos
Passo 5
Comparando coeficientes:
- De
: . - De
: . - Constante:
⇒ .
Substituindoem dá ⇒ , e daí .
Passo 6
Logo a integral vira
Passo 7
Agora integramos termo a termo usando:
-
. -
. -
.
Então
Passo 8
Como a expressão original é 21 menos essa integral, o resultado final é
Resposta
21 - 2\ln|x| - \frac{1}{x} - 3\ln|x+2| + C