Resolver as inequações dadas e exibir o conjunto solução em linguagem de intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa inequação: $ \frac{3x - 1}{x^{4} + 1} > 0 $. Estamos lidando com uma função racional, que é um quociente entre dois polinômios. Para resolver isso, precisamos entender onde essa fração é positiva. Vamos precisar analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador: $ x^{4} + 1 $. Sabemos que $ x^{4} $ é sempre positivo ou zero, já que qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado não negativo. Portanto, $ x^{4} + 1 $ é sempre maior que zero para qualquer valor de $ x $. Isso significa que o denominador nunca muda de sinal e sempre é positivo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador: $ 3x - 1 $. Para descobrir onde ele é positivo, igualamos a zero e resolvemos para $ x $:
Isso nos diz que o numerador é zero quando $ x = \frac{1}{3} $. Agora, vamos ver em quais intervalos o numerador é positivo ou negativo:
- Para $ x < \frac{1}{3} $: Se escolhermos, por exemplo, $ x = 0 $, temos $ 3(0) - 1 = -1 $, que é negativo.
- Para $ x > \frac{1}{3} $: Se escolhermos, por exemplo, $ x = 1 $, temos $ 3(1) - 1 = 2 $, que é positivo.
Passo 4
Como o denominador $ x^{4} + 1 $ é sempre positivo, o sinal da fração $ \frac{3x - 1}{x^{4} + 1} $ depende apenas do numerador:
- Quando $ 3x - 1 > 0 $, a fração é positiva.
- Quando $ 3x - 1 < 0 $, a fração é negativa.
Queremos onde a fração é maior que zero, ou seja, onde ela é positiva.
Passo 5
Concluindo:
- $ \frac{3x - 1}{x^{4} + 1} > 0 $ quando $ 3x - 1 > 0 $.
- Resolvendo $ 3x - 1 > 0 $, encontramos $ x > \frac{1}{3} $.
Resposta
O conjunto solução é $ \left( \frac{1}{3},\ +\infty \right) $.