Seja k in R fixo. Considere a função f(x, y, z)=x^2+2 y^2+z^2 sujeita à restrição x+y+z=k.
Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor do mínimo absoluto em função de k, que denotaremos por h(k).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos minimizar a função f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2 sujeita à restrição x+y+z=k. O assunto é otimização com multiplicadores de Lagrange e vamos usar cálculo multivariável para resolver.

Passo 2

Construímos o lagrangiano e escrevemos as condições de estação nablaL=0:
L(x,y,z,lambda)=x^2+2y^2+z^2-lambda(x+y+z-k)
partialLpartial x=2x-lambda=0,partialLpartial y=4y-lambda=0,partialLpartial z=2z-lambda=0

Passo 3

Resolvendo as três equações acima temos x=lambda2, y=lambda4 e z=lambda2.

Passo 4

Substituímos na restrição x+y+z=k para encontrar lambda:
lambda2+lambda4+lambda2=5lambda4=k
Daí lambda=4k5 e portanto
x=2k5, y=k5, z=2k5.

Passo 5

Calculamos o valor de f nesse ponto e confirmamos que é mínimo (a Hessiana é diagonal com entradas positivas):
$$
f\Bigl(\tfrac{2k}{5},\tfrac{k}{5},\tfrac{2k}{5}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{2k}{5}\Bigr)2+2\Bigl(\tfrac{k}{5}\Bigr)2+\Bigl(\tfrac{2k}{5}\Bigr)2=\frac{2k2}{5}.$$

Resposta

h(k)=\frac{2k^2}{5}

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