Seja
fixo. Considere a função
sujeita à restrição
.
Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor do mínimo absoluto em função de
, que denotaremos por
.
Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor do mínimo absoluto em função de
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos minimizar a função
sujeita à restrição
. O assunto é otimização com multiplicadores de Lagrange e vamos usar cálculo multivariável para resolver.
Passo 2
Construímos o lagrangiano e escrevemos as condições de estação
:
Passo 3
Resolvendo as três equações acima temos
,
e
.
Passo 4
Substituímos na restrição
para encontrar
:
Daí
Passo 5
Calculamos o valor de
nesse ponto e confirmamos que é mínimo (a Hessiana é diagonal com entradas positivas):
$$
f\Bigl(\tfrac{2k}{5},\tfrac{k}{5},\tfrac{2k}{5}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{2k}{5}\Bigr)2+2\Bigl(\tfrac{k}{5}\Bigr)2+\Bigl(\tfrac{2k}{5}\Bigr)2=\frac{2k2}{5}.$$
Resposta
h(k)=\frac{2k^2}{5}