Avalie a Integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
25−∫10/((x−1)(x²+9)) dx. Esse é um problema de integração de funções racionais, e vamos usar o método de frações parciais para resolver.
25−∫10/((x−1)(x²+9)) dx. Esse é um problema de integração de funções racionais, e vamos usar o método de frações parciais para resolver.
Passo 2
Para decompor a fração, escrevemos
Em seguida multiplicamos pelo denominador comum para achar A, B e C.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por (x−1)(x²+9) obtemos
Expandindo e agrupando termos em x², x e constantes, chegam-se às equações lineares
A+B=0,
C−B=0,
9A−C=10.
Resolvendo esse sistema dá A=1, B=−1 e C=−1.
A+B=0,
C−B=0,
9A−C=10.
Resolvendo esse sistema dá A=1, B=−1 e C=−1.
Passo 4
Substituindo A, B e C na decomposição, a integral vira
[
\int\frac{10}{(x-1)(x2+9)}dx=\int\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x2+9}\Bigr)dx
=\int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{x}{x2+9}dx-\int\frac{1}{x2+9}dx.
\int\frac{10}{(x-1)(x2+9)}dx=\int\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x2+9}\Bigr)dx
=\int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{x}{x2+9}dx-\int\frac{1}{x2+9}dx.
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
•
• usando substituição u=x²+9
• .
Logo
•
•
•
Logo
Passo 6
Voltando à expressão original, fica
25−\int\frac{10}{(x-1)(x^2+9)}dx
=25-\ln|x-1|+\tfrac12\ln(x^2+9)+\tfrac13\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C’.
Como 25 é constante, podemos absorvê-la em uma constante geral, mas esta é a forma completa.
25−\int\frac{10}{(x-1)(x^2+9)}dx
=25-\ln|x-1|+\tfrac12\ln(x^2+9)+\tfrac13\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C’.
Como 25 é constante, podemos absorvê-la em uma constante geral, mas esta é a forma completa.
Resposta
25-\ln|x-1|+\tfrac12\ln(x^2+9)+\tfrac13\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C