Avalie a Integral:
25-integral 10(x-1)(x^2+9) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
25−∫10/((x−1)(x²+9)) dx. Esse é um problema de integração de funções racionais, e vamos usar o método de frações parciais para resolver.

Passo 2

Para decompor a fração, escrevemos
10(x-1)(x^2+9)=Ax-1+Bx+Cx^2+9
Em seguida multiplicamos pelo denominador comum para achar A, B e C.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x−1)(x²+9) obtemos
10=A(x^2+9)+(Bx+C)(x-1)
Expandindo e agrupando termos em x², x e constantes, chegam-se às equações lineares
A+B=0,
C−B=0,
9A−C=10.
Resolvendo esse sistema dá A=1, B=−1 e C=−1.

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição, a integral vira
[
\int\frac{10}{(x-1)(x2+9)}dx=\int\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x2+9}\Bigr)dx
=\int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{x}{x2+9}dx-\int\frac{1}{x2+9}dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral1x-1dx=ln|x-1|
integralxx^2+9dx=12ln(x^2+9) usando substituição u=x²+9
integral1x^2+9dx=13arctanl(tfracx3r).
Logo
integral10(x-1)(x^2+9)dx=ln|x-1|-tfrac12ln(x^2+9)-tfrac13arctanl(tfracx3r)+C

Passo 6

Voltando à expressão original, fica
25−\int\frac{10}{(x-1)(x^2+9)}dx
=25-\ln|x-1|+\tfrac12\ln(x^2+9)+\tfrac13\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C’.
Como 25 é constante, podemos absorvê-la em uma constante geral, mas esta é a forma completa.

Resposta

25-\ln|x-1|+\tfrac12\ln(x^2+9)+\tfrac13\arctan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C

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