Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=n^2+1n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência $ f(n) = \frac{n^{2} + 1}{n} $ é convergente ou divergente. A matéria que estamos usando aqui é Sequências e Limites, e vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A sequência dada é:
f(n) = n^2 + 1n
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador $ n $:
n

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito. Ou seja, queremos calcular:
n

Passo 4

Vamos separar o limite em duas partes para facilitar:
limn to infty n + limn to infty 1n
Sabemos que:
  • limn to infty n = infty (porque conforme $ n $ cresce, $ n $ também cresce sem limite)
  • n (porque conforme $ n $ cresce, $ \frac{1}{n} $ fica cada vez menor, aproximando-se de zero)

Passo 5

Então, somando os dois limites:
infty + 0 = infty
Isso significa que a sequência cresce sem limites e não se aproxima de nenhum número específico.

Resposta

A sequência $ f(n) = \frac{n^{2} + 1}{n} $ é divergente, pois tende ao infinito quando $ n $ cresce.

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