Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência $ f(n) = \frac{n^{2} + 1}{n} $ é convergente ou divergente. A matéria que estamos usando aqui é Sequências e Limites, e vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A sequência dada é:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador $ n $:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito. Ou seja, queremos calcular:
Passo 4
Vamos separar o limite em duas partes para facilitar:
Sabemos que:
-
(porque conforme $ n $ cresce, $ n $ também cresce sem limite) -
(porque conforme $ n $ cresce, $ \frac{1}{n} $ fica cada vez menor, aproximando-se de zero)
Passo 5
Então, somando os dois limites:
Isso significa que a sequência cresce sem limites e não se aproxima de nenhum número específico.
Resposta
A sequência $ f(n) = \frac{n^{2} + 1}{n} $ é divergente, pois tende ao infinito quando $ n $ cresce.