Avalie a Integral:
27-integral cos x ln (sin x) d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão 27 - integral cos x ln(sin x),dx. O que precisamos é calcular essa integral e depois subtrair de 27. O método mais indicado aqui é integração por partes porque temos o produto de uma função logarítmica ln(sin x) por cos x.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = ln(sin x) e dv = cos x,dx. Assim, calculamos du e v:
du = ddx[ln(sin x)],dx = cot x,dx
v = integral cos x,dx = sin x

Passo 3

Usando a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du, temos:
integral cos x ln(sin x),dx = sin x ln(sin x) - integral sin x cdot cot x,dx
Como cot x = cos x/sin x, a integral interna vira:
integral sin x cdot cos xsin x,dx = integral cos x,dx = sin x
Logo,
integral cos x ln(sin x),dx = sin x ln(sin x) - sin x + C

Passo 4

Agora substituímos na expressão original:
27 - integral cos x ln(sin x),dx = 27 - l(sin x ln(sin x) - sin xr) + C
Distribuindo o sinal de menos, chegamos em:
27 + sin x - sin x ln(sin x) + C

Resposta

27 + \sin x - \sin x \ln(\sin x) + C

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