Avalie a Integral:
5-integral r e^r2 d r

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva da expressão 5 − ∫ r e^{r/2} dr. O conteúdo principal aqui é integração por partes, além de sabermos que ∫ e^{r/2} dr = 2 e^{r/2}.

Passo 2

Para aplicar integração por partes em ∫ r e^{r/2} dr, lembramos da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos:
u = r, dv = e^r/2,dr
Então
du = dr, v = integral e^r/2,dr = 2,e^r/2

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral r,e^r/2,dr = u,v - integral v,du = 2r,e^r/2 - integral 2,e^r/2,dr

Passo 4

Agora calculamos o segundo integral:
integral 2,e^r/2,dr = 2 integral e^r/2,dr = 2 cdot 2,e^r/2 = 4,e^r/2
Logo:
integral r,e^r/2,dr = 2r,e^r/2 - 4,e^r/2 + C

Passo 5

Por fim, substituímos em 5 − ∫ r e^{r/2} dr:
5 - (2r,e^r/2 - 4,e^r/2) + C = -2r,e^r/2 + 4,e^r/2 + 5 + C

Resposta

-2r,e^r2 + 4,e^r2 + 5 + C

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