Simplifique e fatore o máximo possível as expressões abaixo.
3 x^3-12 x^2+12 x4 x^6-16 x^4

Passo 1

O exercício pede para simplificar a expressão racional abaixo, que envolve fatores polinomiais no numerador e denominador. O conteúdo é simplificação de frações algébricas e vamos precisar fatorar polinômios e usar cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Começamos pelo numerador. Observamos que todos os termos têm fator comum 3x. Ao fatorar, temos:
3x^3 - 12x^2 + 12x = 3x,(x^2 - 4x + 4)
Como x^2 - 4x + 4 é um quadrado perfeito, reescrevemos:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2,
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3x^3 - 12x^2 + 12x = 3x,(x - 2)^2

Passo 3

Agora fatoramos o denominador. Todos os termos têm 4x^4 em comum e temos uma diferença de quadrados em x^6 - 4x^4:
4x^6 - 16x^4 = 4x^4,(x^2 - 4) = 4x^4,(x - 2),(x + 2)

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, obtemos:
3x^3 - 12x^2 + 12x4x^6 - 16x^4 = 3x,(x - 2)^24x^4,(x - 2),(x + 2)
Agora cancelamos os fatores comuns x (deixando x^3 no denom.) e um dos (x - 2):
= 3,(x - 2)4x^3,(x + 2)

Passo 5

Chegamos, portanto, à forma simplificada e totalmente fatorada da expressão. Lembre-se que, para que a simplificação seja válida, devemos ter x neq 0 e x neq pm 2.

Resposta

3(x - 2)4x^3(x + 2), xneq0,,pm2

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