Avalie a Integral:
31-integral0^ln 10 e^x raize^x-1e^x+8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
31 - integral0^ln 10 e^xraize^x-1e^x+8,dx
Isso envolve técnicas de integração por substituição e de decomposição de fração. Vamos usar uma substituição que elimine a raiz raize^x-1 e depois integrar uma função racional.

Passo 2

Para simplificar a raiz, fazemos a troca de variável
t = raize^x-1
Então
e^x = t^2+1,
e diferenciando ambos os lados
dx = 2tt^2+1,dt
Os limites mudam assim: quando x=0, t=0; e quando x=ln10, t=raiz10-1=3.

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador fica
e^xraize^x-1,dx = (t^2+1),t cdot 2tt^2+1,dt = 2t^2,dt
e o denominador
e^x+8 = t^2+1+8 = t^2+9
Logo a integral vira
integral0^ln 10 e^xraize^x-1e^x+8,dx = 2integral0^3 t^2t^2+9,dt

Passo 4

Para integrar integral t^2/(t^2+9),dt separamos a fração:
t^2t^2+9 = 1 - 9t^2+9
Então
2integral0^3 t^2t^2+9,dt = 2gl(integral0^31,dt - 9integral0^31t^2+9,dtgr)

Passo 5

Calculando cada parte:
integral0^31,dt = 3,
integral0^31t^2+9,dt = 13l[arctanl(tfract3r)r]0^3 = 13cdotpi4 = pi12
Portanto
2l(3 - 9cdotpi12r) = 2l(3 - 3pi4r) = 6 - 3pi2

Passo 6

Por fim, o enunciado pede
31 - gl(6 - 3pi2gr) = 31 - 6 + 3pi2 = 25 + 3pi2

Resposta

25 + \frac{3\pi}{2}

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