Seja o parâmetro
fixo. Determine e classifique o ponto crítico da função
considerando todos os possíveis valores de
.
Passo 1
Vamos primeiro entender o problema: temos a função de duas variáveis
. O objetivo é achar os pontos críticos (onde o gradiente anula) e usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos, variando
. Para isso vamos precisar calcular derivadas parciais e analisar a definitude da Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para encontrar pontos críticos, igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
que é
válido sempre que
, ou seja
.
Passo 4
Se
, o sistema
não admite solução (fica
). Logo não há ponto crítico para
.
Passo 5
Agora montamos a matriz Hessiana de
, que é constante:
O determinante é
Como
, temos: se
(isto é
), Hessiana definida positiva e ponto crítico é mínimo local. Se
(isto é
), Hessiana indefinida e ponto é sela.
Passo 6
Juntando tudo, concluímos: para
existe um único ponto crítico
Se
esse ponto é mínimo local; se
é ponto de sela. Para
não há ponto crítico.
Resposta
Para
o único ponto crítico é
. Se
ele é mínimo local; se
é ponto de sela. Para
não existe ponto crítico.