Seja o parâmetro alpha in R fixo. Determine e classifique o ponto crítico da função
f(x, y)=x^2-alpha x y+y+y^2, (x, y) in R^2
considerando todos os possíveis valores de alpha.

Passo 1

Vamos primeiro entender o problema: temos a função de duas variáveis f(x,y)=x^2-alpha x y+y+y^2. O objetivo é achar os pontos críticos (onde o gradiente anula) e usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos, variando alphainR. Para isso vamos precisar calcular derivadas parciais e analisar a definitude da Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x-alpha y,
partial fpartial y=-alpha x+1+2y

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
2x-alpha y=0, -alpha x+2y+1=0
Da primeira equação vem
x=alpha y2
Substituindo na segunda:
-alpha^22y+2y+1=0
que é
yl(2-alpha^22r)+1=0 Longrightarrow y=-24-alpha^2, x=-alpha4-alpha^2,
válido sempre que 4-alpha^2neq0, ou seja alphaneqpm2.

Passo 4

Se alpha=pm2, o sistema
2x-alpha y=0, -alpha x+2y+1=0
não admite solução (fica 1=0). Logo não há ponto crítico para alpha=pm2.

Passo 5

Agora montamos a matriz Hessiana de f, que é constante:
H=fxx&fxyfyx&fyy =2&-alpha-alpha&2
O determinante é
D=det H=2cdot2-(-alpha)^2=4-alpha^2
Como fxx=2>0, temos: se D>0 (isto é |alpha|<2), Hessiana definida positiva e ponto crítico é mínimo local. Se D<0 (isto é |alpha|>2), Hessiana indefinida e ponto é sela.

Passo 6

Juntando tudo, concluímos: para alphaneqpm2 existe um único ponto crítico
l(x^*,y^*r)=l(-tfracalpha4-alpha^2,-tfrac24-alpha^2r)
Se |alpha|<2 esse ponto é mínimo local; se |alpha|>2 é ponto de sela. Para alpha=pm2 não há ponto crítico.

Resposta

Para alphaneqpm2 o único ponto crítico é (x^*,y^*)=l(-tfracalpha4-alpha^2,-tfrac24-alpha^2r). Se |alpha|<2 ele é mínimo local; se |alpha|>2 é ponto de sela. Para alpha=pm2 não existe ponto crítico.

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