Avalie a Integral:
37-integral(cos x+sin x)^2 cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a expressão 37 - integral (cos x + sin x)^2,cos 2x,dx. O assunto é integração de funções trigonométricas usando identidades, e vamos precisar das fórmulas de soma de quadrados e de produto para soma.

Passo 2

Primeiro, expandimos (cos x + sin x)^2 usando as identidades cos^2 x + sin^2 x = 1 e sin2x = 2sin xcos x. Assim,
(cos x + sin x)^2 = cos^2 x + 2sin xcos x + sin^2 x = 1 + sin2x
Substituindo na integral, o integrando fica
(1 + sin2x)cos2x = cos2x + sin2xcos2x

Passo 3

Agora usamos a identidade de produto para soma sin2xcos2x = tfrac12sin4x. Logo,
integral(cos2x + sin2xcos2x),dx = integralcos2x,dx + tfrac12integralsin4x,dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
integralcos2x,dx = tfrac12sin2x, integralsin4x,dx = -tfrac14cos4x

Passo 5

Portanto a integral original é
integral(cos x + sin x)^2cos2x,dx = tfrac12sin2x - tfrac18cos4x + C

Passo 6

Por fim, voltamos à expressão 37 - integral(cos x + sin x)^2cos2x,dx e obtemos
37 - l(tfrac12sin2x - tfrac18cos4xr) + C = 37 - tfrac12sin2x + tfrac18cos4x + C

Resposta

37 - tfrac12sin2x + tfrac18cos4x + C

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