Calcule as integrais utilizando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando frações parciais. Conteúdo: integração de funções racionais, frações parciais, logaritmos e arctan.
Passo 2
Fatoramos o denominador:
. Logo o integrando fica sobre
. Propomos a decomposição
Passo 3
Para achar
, basta anular
, ou seja, substituir
:
Passo 4
Para determinar
, multiplicamos a identidade acima por
e igualamos coeficientes de potências de
. Isso gera o sistema:
$$\begin{cases}B + D = -\frac{2}{3},\C - D + E = \frac{1}{3},\D - E = -\frac{4}{3},\B + D - E = \frac{2}{3},\C + E = -\frac{7}{3}.
\end{cases}$$
Passo 5
Resolvendo o sistema com
, obtém-se
$$B=2,\quad C=-1,\quad D=-\tfrac{8}{3},\quad E=-\tfrac{4}{3}.
$$
Passo 6
Logo a decomposição fica:
$$\frac{x{3}+3}{(x{2}+1)(x{3}-1)}=\frac{2/3}{x-1}+\frac{2x-1}{x{2}+1}-\frac{4/3,(2x+1)}{x^{2}+x+1}.
$$
Passo 7
Integramos cada termo:
$$I_3=-\frac{4}{3}\int\frac{2x+1}{x{2}+x+1}dx=-\frac{4}{3}\ln(x{2}+x+1).
$$
Passo 8
Somando tudo, a integral é a soma
.