Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x^3+3(x^2+1)(x^3-1) d x
R: 2 log (x-1)3+log (x^2+1)-4 log (x^2+x+1)3-arctg(x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^3+3(x^2+1)(x^3-1),dx usando frações parciais. Conteúdo: integração de funções racionais, frações parciais, logaritmos e arctan.

Passo 2

Fatoramos o denominador: x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). Logo o integrando fica sobre (x^2+1)(x-1)(x^2+x+1). Propomos a decomposição
x^3+3(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)=Ax-1+Bx+Cx^2+1+Dx+Ex^2+x+1

Passo 3

Para achar A, basta anular x-1=0, ou seja, substituir x=1:
1^3+3=4= A,(1^2+1)(1^2+1+1)=6A Rightarrow A=tfrac23

Passo 4

Para determinar B,C,D,E, multiplicamos a identidade acima por (x^2+1)(x-1)(x^2+x+1) e igualamos coeficientes de potências de x. Isso gera o sistema:
$$\begin{cases}B + D = -\frac{2}{3},\C - D + E = \frac{1}{3},\D - E = -\frac{4}{3},\B + D - E = \frac{2}{3},\C + E = -\frac{7}{3}.
\end{cases}$$

Passo 5

Resolvendo o sistema com A=2/3, obtém-se
$$B=2,\quad C=-1,\quad D=-\tfrac{8}{3},\quad E=-\tfrac{4}{3}.
$$

Passo 6

Logo a decomposição fica:
$$\frac{x{3}+3}{(x{2}+1)(x{3}-1)}=\frac{2/3}{x-1}+\frac{2x-1}{x{2}+1}-\frac{4/3,(2x+1)}{x^{2}+x+1}.
$$

Passo 7

Integramos cada termo:
I1=23integraldxx-1=23ln|x-1|,
I2=integral2x-1x^2+1dx=integral2xx^2+1dx-integraldxx^2+1=ln(x^2+1)-arctan(x),
$$I_3=-\frac{4}{3}\int\frac{2x+1}{x{2}+x+1}dx=-\frac{4}{3}\ln(x{2}+x+1).
$$

Passo 8

Somando tudo, a integral é a soma I1+I2+I3+C.

Resposta

23ln|x-1|+ln(x^2+1)-43ln(x^2+x+1)-arctan(x)+C

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