Avalie a integral definida.
integral0^1 e^2+1e^2+z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que integral0^1 e^2+1e^2+z , dz = (e^2 + 1) integral0^1 1e^2 + z , dz é uma constante, porque é apenas um número fixo (aproximadamente 2,718). Então, podemos fatorar essa constante para fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da integral u = e^2 + z . Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos definir:
dudz = 1 Rightarrow du = dz
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Com essa substituição, nossa integral fica mais simples:
integral 1u , du
A integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
Como estamos lidando com integrais definidas, vamos aplicar os limites de integração após substituirmos de volta para .

Passo 5

Voltando à nossa variável original ln|u| = ln(e^2 + z) , temos:
(e^2 + 1) [ ln(e^2 + z) ]0^1
Então, a integral definida fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da integral aplicando os limites de integração de 0 a 1:
(e^2 + 1) [ ln(e^2 + 1) - ln(e^2 + 0) ] = (e^2 + 1) [ ln(e^2 + 1) - ln(e^2) ]

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
ln(a) - ln(b) = ln(ab)
Aplicando isso, temos:
(e^2 + 1) ln(e^2 + 1e^2)

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
(e^2 + 1) ln(1 + 1e^2)

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