Avalie a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que
é uma constante, porque
é apenas um número fixo (aproximadamente 2,718). Então, podemos fatorar essa constante para fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte da integral
. Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Com essa substituição, nossa integral fica mais simples:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Como estamos lidando com integrais definidas, vamos aplicar os limites de integração após substituirmos de volta para
.
Passo 5
Voltando à nossa variável original
, temos:
Então, a integral definida fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da integral aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
Aplicando isso, temos:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é: