Determinar o fluxo de F(x, y, z)=(y^2 x z, x^2 y z, x^2+y^2) na direção da normal unitária exterior n da fronteira do volume V interno ao cone z^2=x^2+ y^2 e à esfera x^2+y^2+z^2=9 com z >= 0. (2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o fluxo de um campo vetorial $ F(x, y, z) = (y^{2}xz, x^{2}yz, x{2}+y{2}) $ na direção da normal unitária exterior $ n $ da fronteira do volume $ V $. Esse volume está definido dentro do cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $, considerando apenas $ z \geq 0 $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de “fluido” que passa através de uma superfície. Matematicamente, ele é calculado pela integral de superfície $ \iint_{S} F \cdot n , dS $, onde $ n $ é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície do fluxo de $ F $ com a integral de volume da divergência de $ F $:
F
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de volume da divergência de $ F $, o que geralmente é mais simples.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de $ F $. A divergência de $ F = (P, Q, R) $ é dada por:
F
Aplicando isso ao nosso $ F $:
F = (P, Q, R)
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
F
Então,
P = y^2xz Rightarrow partial Ppartial x = y^2z

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume $ V $. Como $ V $ está limitado pelo cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e pela esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ com $ z \geq 0 $, é conveniente usar coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas:
V
V
z^2 = x^2 + y^2
O cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas esféricas fica $ \rho^{2} \cos^{2} \phi = \rho^{2} \sin^{2} \phi $ ou $ \tan \phi = 1 $, então $ \phi = \frac{\pi}{4} $.
A esfera tem raio $ \rho = 3 $.

Passo 6

Vamos expressar a divergência $ \nabla \cdot F = z(x^{2} + y^{2}) $ em coordenadas esféricas:
nabla cdot F = z(x^2 + y^2)
z = rho cos phi
x^2 + y^2 = rho^2 sin^2 phi
A integral de volume em coordenadas esféricas é:
nabla cdot F = rho cos phi cdot rho^2 sin^2 phi = rho^3 cos phi sin^2 phi
Simplificando:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^3 rho^3 cos phi sin^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Calculando cada integral:
integral0^2pi dtheta integral0^pi4 cos phi sin^3 phi , dphi integral0^3 rho^5 , drho
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^pi4 cos phi sin^3 phi , dphi = 14 sin^4 phi g|0^pi4 = 14 ( ( raiz22 )^4 - 0 ) = 14 cdot 14 = 116
Multiplicando tudo:
integral0^3 rho^5 , drho = rho^66 g|0^3 = 7296 = 121.5

Resposta

O fluxo desejado é $ 15.1875\pi $.

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