Determinar o fluxo de
na direção da normal unitária exterior
da fronteira do volume
interno ao cone
e à esfera
com
. (2,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o fluxo de um campo vetorial $ F(x, y, z) = (y^{2}xz, x^{2}yz, x{2}+y{2}) $ na direção da normal unitária exterior $ n $ da fronteira do volume $ V $. Esse volume está definido dentro do cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $, considerando apenas $ z \geq 0 $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de “fluido” que passa através de uma superfície. Matematicamente, ele é calculado pela integral de superfície $ \iint_{S} F \cdot n , dS $, onde $ n $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície do fluxo de $ F $ com a integral de volume da divergência de $ F $:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de volume da divergência de $ F $, o que geralmente é mais simples.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de $ F $. A divergência de $ F = (P, Q, R) $ é dada por:
Aplicando isso ao nosso $ F $:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume $ V $. Como $ V $ está limitado pelo cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e pela esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ com $ z \geq 0 $, é conveniente usar coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas:
O cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas esféricas fica $ \rho^{2} \cos^{2} \phi = \rho^{2} \sin^{2} \phi $ ou $ \tan \phi = 1 $, então $ \phi = \frac{\pi}{4} $.
A esfera tem raio $ \rho = 3 $.
Passo 6
Vamos expressar a divergência $ \nabla \cdot F = z(x^{2} + y^{2}) $ em coordenadas esféricas:
A integral de volume em coordenadas esféricas é:
Simplificando:
Calculando cada integral:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo desejado é $ 15.1875\pi $.