Avalie a integral definida.
integral0^pi / 2 cos x sen(sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi2 cos x,sin(sin x),dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos cos x,dx multiplicando uma função de sin x.

Passo 2

Fazendo a substituição u = sin x, então du = cos x,dx. Quando x=0, temos u=0; quando x=tfracpi2, temos u=1. Substituindo na integral original obtemos:
integral0^pi2 cos x,sin(sin x),dx = integral0^1 sin(u),du

Passo 3

A integral de sin(u) é -cos(u). Portanto,
integral0^1 sin(u),du = [-cos(u)]0^1 = -cos(1) - (-cos(0))

Passo 4

Calculando os valores dos cossenos: cos(0)=1, logo o resultado fica
-cos(1) + 1 = 1 - cos(1).

Resposta

1 - \cos(1)

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