Avalie a integral definida:
integral0^1 cos (pi t2) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 cos!l(tfracpi t2r),dt
O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo e a antiderivada de cos(ax), que é tfrac1asin(ax).

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(t) tal que
F'(t)=cos!l(tfracpi t2r)
Note que aqui a=tfracpi2, logo
F(t)=integral cos!l(a tr),dt = 1asin!l(a tr) = 2pi,sin!l(tfracpi t2r)

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^1 cos!l(tfracpi t2r),dt = F(1)-F(0)
Calculando:
F(1)=2pisin!l(tfracpi2r) =2picdot1 =2pi,
F(0)=2pisin(0)=0
Logo
integral0^1 cos!l(tfracpi t2r),dt =2pi-0 =2pi

Resposta

2pi

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