As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
x^2 y^prime prime+b x y^prime+c y=0, em que b, c in R
Existem valores constantes de r tais que y(x)=x^r é uma solução de (2.23). Além disso, y(x)=x^r é solução da equação (2.23) se, e somente se,
r^2+(b-1) r+c=0
que é chamada equação indicial de (2.23). Se a equação indicial tem somente uma raiz real, r=1-b2, determine uma segunda solução linearmente independente da forma
y2(x)=v(x) y1(x)=v(x) x^1-b2, para x>0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Euler
x^2y''+b,x,y'+c,y=0,
cuja equação indicial tem única raiz real
r=1-b2
Já sabemos que uma solução é
y1(x)=x^r=x^1-b2
O objetivo é encontrar uma segunda solução linearmente independente da forma
y2(x)=v(x),y1(x)=v(x),x^1-b2, x>0
Para isso, vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação de Euler na forma padrão
y''+bxy'+cx^2y=0
Aqui p(x)=bx e q(x)=cx^2.

Passo 3

Pelo método de redução de ordem, se y1(x) é uma solução, uma segunda solução pode ser escrita como
y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos primeiro
integral p(x),dx=integral bx,dx=bln x,
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e^-integral p(x),dx=e^-bln x=x^-b
Como y1(x)=x^r com r=1-b2, temos
y1(x)^2=x^2r=x^,1-b

Passo 5

Substituindo em y2:
y2(x)=x^rintegral x^-bx^2r,dx =x^rintegral x^-b-2r,dx
Mas
-b-2r=-b-2l(1-b2r)=-b-(1-b)=-1,
então a integral fica
integral x^-1,dx=ln x

Passo 6

Portanto
y2(x) =x^rln x =x^1-b2ln x
é uma segunda solução linearmente independente de y1.

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=x^1-b2ln x

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