As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
Existem valores constantes de
tais que
é uma solução de (2.23). Além disso,
é solução da equação (2.23) se, e somente se,
que é chamada equação indicial de (2.23). Se a equação indicial tem somente uma raiz real,
, determine uma segunda solução linearmente independente da forma
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Euler
cuja equação indicial tem única raiz real
Já sabemos que uma solução é
O objetivo é encontrar uma segunda solução linearmente independente da forma
Para isso, vamos usar o método de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação de Euler na forma padrão
Aqui
e
.
Passo 3
Pelo método de redução de ordem, se
é uma solução, uma segunda solução pode ser escrita como
Passo 4
Calculamos primeiro
logo
Como
com
, temos
Passo 5
Substituindo em
:
Mas
então a integral fica
Passo 6
Portanto
é uma segunda solução linearmente independente de
.
Resposta
A segunda solução é