Calcule, se existir o limite dado.
lim x infty(raiz3 x^2+2 x+1-raiz2 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxtoinftyl(raiz3x^2+2x+1-raiz2,xr).
Aqui o conteúdo é limite no infinito de expressão com raiz quadrada; vamos usar o truque de racionalização para ver se ele converge ou diverge.

Passo 2

Multiplicamos pela expressão conjugada para escrever tudo numa única fração:
raiz3x^2+2x+1-raiz2,x =l(raiz3x^2+2x+1-raiz2,xr)l(raiz3x^2+2x+1+raiz2,xr) raiz3x^2+2x+1+raiz2,x =3x^2+2x+1-2x^2raiz3x^2+2x+1+raiz2,x =x^2+2x+1raiz3x^2+2x+1+raiz2,x

Passo 3

No numerador x^2+2x+1sim x^2 e no denominador
raiz3x^2+2x+1+raiz2,xsim x(raiz3+raiz2).
Portanto a expressão comporta-se como
x^2x(raiz3+raiz2) =xraiz3+raiz2
quando xtoinfty. Como o coeficiente tfrac1raiz3+raiz2>0, isso cresce sem limite.

Resposta

O limite diverge para +infty.

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