Seja
uma região admissível de área
no plano xy e seja
a porção do plano
constituída por todos os pontos
no plano para o qual
está na região
. Supondo que
, mostre que a área da superfície
é dada por: (2,5 pontos)
Passo 1
Vamos lá! A questão nos apresenta uma região $ R $ no plano $ xy $ com área $ A_0 $ e uma porção de um plano no espaço definida pela equação $ a x + b y + c z + d = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a área da superfície $ S $ desse plano, que está “acima” da região $ R $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a relação entre a área de uma superfície inclinada e sua projeção no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a área de uma superfície inclinada no espaço se relaciona com sua projeção no plano $ xy $. Imagine que temos uma superfície plana inclinada em relação ao plano $ xy $. A área projetada dessa superfície no plano $ xy $ será diferente da área real da superfície devido à inclinação.
Passo 3
A relação entre a área real da superfície $ S $ e sua projeção $ A_0 $ no plano $ xy $ pode ser encontrada usando o conceito de diferencial de área. A fórmula geral para a área de uma superfície dada por $ z = f(x, y) $ é:
No nosso caso, a superfície está definida pelo plano $ a x + b y + c z + d = 0 $. Podemos resolver essa equação para $ z $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Como $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $ e $ c $ são constantes, podemos tirá-los da integral:
A integral $ \iint_{R} , dx , dy $ representa a área da região $ R $, que é $ A_0 $:
Resposta
A área da superfície $ S $ é dada por: