Avalie a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a π/2 de cos(x)·sen(sen(x)). O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, já que vemos cos(x) multiplicando a função sen(sen(x)), e sabemos que a derivada de sen(x) é cos(x).
Passo 2
Vamos fazer a substituição u = sen(x). Com isso, du = cos(x)dx. Como x varia de 0 a π/2, u varia de sen(0)=0 até sen(π/2)=1.
Após a substituição, a integral fica:
[\displaystyle \int_{0}{\pi/2}\cos(x)\sin(\sin(x)),dx=\int_{u=0}{u=1}\sin(u),du]
Após a substituição, a integral fica:
[\displaystyle \int_{0}{\pi/2}\cos(x)\sin(\sin(x)),dx=\int_{u=0}{u=1}\sin(u),du]
Passo 3
Agora basta integrar sen(u) em relação a u. Sabemos que
Passo 4
Aplicando os limites de 0 a 1, obtemos: