Avalie a integral definida.
integral0^pi / 2 cos (x) sen(sen(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a π/2 de cos(x)·sen(sen(x)). O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, já que vemos cos(x) multiplicando a função sen(sen(x)), e sabemos que a derivada de sen(x) é cos(x).

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = sen(x). Com isso, du = cos(x)dx. Como x varia de 0 a π/2, u varia de sen(0)=0 até sen(π/2)=1.
Após a substituição, a integral fica:
[\displaystyle \int_{0}{\pi/2}\cos(x)\sin(\sin(x)),dx=\int_{u=0}{u=1}\sin(u),du]

Passo 3

Agora basta integrar sen(u) em relação a u. Sabemos que
integralsin(u),du=-cos(u)+C

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 1, obtemos:
l[-cos(u)r]0^1=-cos(1)-l(-cos(0)r)=cos(0)-cos(1)=1-cos(1)

Resposta

1 - cos(1)

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