Calcule as integrais trigonométricas a seguir.
integral tg(x) sec ^2(x) d x

Passo 1

A integral dada é integral tan(x)sec^2(x),dx. O conteúdo é integrais trigonométricas e vamos precisar usar uma substituição que aproveite a relação entre derivada de tan(x) e sec^2(x).

Passo 2

Como a derivada de tan(x) é sec^2(x), fazemos a substituição u=tan(x). Assim, temos du=sec^2(x),dx. Reescrevendo a integral em função de u e du, fica integral tan(x)sec^2(x),dx=integral u,du.

Passo 3

Agora basta integrar em u: integral u,du=tfracu^22+C, onde C é a constante de integração. Por fim, voltamos à variável original usando u=tan(x), obtendo tan^2(x)2+C.

Resposta

tan^2(x)2+C

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