Considere a série sumn=0^infty (x-1)^n4^n(n+3)
Determine o raio de convergência

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o raio de convergência da série sumn=0^infty (x-1)^n4^n(n+3). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Razão para verificar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. Ele é dado por:
an = (x-1)^n4^n(n+3)
Aqui, (x-1)^n mostra que a série depende de x, e queremos descobrir para quais valores de x a série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência ao analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para o nosso caso:
Simplificando a expressão:
an+1an = (x-1)^n+14^n+1(n+4)(x-1)^n4^n(n+3) = (x-1)^n+1 cdot 4^n(n+3)4^n+1(n+4) cdot (x-1)^n
Agora, tiramos o limite quando an+1an = (x-1)4 cdot n+3n+4 tende ao infinito:
n

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que L < 1:
| x-14 | < 1
Isso nos dá a condição:
|x - 1| < 4
Aqui, vemos que a série converge para valores de x que estão a menos de 4 unidades de distância de 1 no número real.

Resposta

O raio de convergência da série é 4.

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