Avalie a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral x-tan ^-1(x)x^3 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos avaliar a integral indefinida da função usando uma série de potências e determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve conceitos de cálculo integral e séries de potências.

Passo 2

Vamos começar separando a fração dentro da integral para facilitar a integração:
x - tan^-1(x)x^3 = xx^3 - tan^-1(x)x^3 = x^-2 - tan^-1(x)x^3
Agora, a integral fica:
integral ( x^-2 - tan^-1(x)x^3 ) dx

Passo 3

Vamos resolver a integral termo a termo. Primeiro, a integral de integral x^-2 dx = integral 1x^2 dx = -1x + C1 :
Aqui, usamos a regra da potência para integrais: , onde .

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda parte da integral: tan^-1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1 . Para isso, precisamos expandir em uma série de potências. Sabemos que:
Essa é a série de Taylor da função arco-tangente em torno de 0.

Passo 5

Substituindo a série na integral, temos:
integral tan^-1(x)x^3 dx = integral 1x^3 ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 ) dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral x^2n+1 - 3 dx
Simplificando o expoente:
integral x^2n-2 dx

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral x^2n-2 dx = x^2n-12n-1 + C2
Portanto:
integral tan^-1(x)x^3 dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n-1(2n+1)(2n-1) + C2

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes da integral:
integral x - tan^-1(x)x^3 dx = -1x + sumn=0^infty (-1)^n x^2n-1(2n+1)(2n-1) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida avaliada como série de potências é:
integral x - tan^-1(x)x^3 dx = -1x + sumn=0^infty (-1)^n x^2n-1(2n+1)(2n-1) + C
O raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados