Avalie a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos avaliar a integral indefinida da função
usando uma série de potências e determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve conceitos de cálculo integral e séries de potências.
Passo 2
Vamos começar separando a fração dentro da integral para facilitar a integração:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral termo a termo. Primeiro, a integral de
:
Aqui, usamos a regra da potência para integrais:
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda parte da integral:
. Para isso, precisamos expandir
em uma série de potências. Sabemos que:
Essa é a série de Taylor da função arco-tangente em torno de 0.
Passo 5
Substituindo a série na integral, temos:
Simplificando o expoente:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 7
Agora, juntamos as duas partes da integral:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida avaliada como série de potências é:
O raio de convergência dessa série é
.