Ache o limite usando a regra de lHôpital
lim x 0 e^x-10^xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o valor de
lim x 0 e^x-10^xx
Esse problema envolve cálculo de limites, e para resolver usando a regra de l’Hôpital, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tendam a zero ou infinito quando se aproxima de 0. Vamos verificar isso nos próximos passos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0.
  • Numerador:
    Quando , temos .
  • Denominador:
    Quando , o denominador também é 0.
Como ambos tendem a 0, podemos aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

A regra de l’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , então
Desde que esse novo limite exista. Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador f'(x) = e^x - 10^x ln 10 :
    g'(x) = 1
    Aqui, usamos a regra da derivada de funções exponenciais, onde a derivada de é .
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de l’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
lim x 0 e^x-10^xx = lim x 0 e^x - 10^x ln 101
Isso simplifica para:
lim x 0 ( e^x - 10^x ln 10 )

Passo 6

Agora, substituímos e^0 - 10^0 ln 10 = 1 - 1 cdot ln 10 = 1 - ln 10 diretamente na expressão:

Resposta

1 - ln 10

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