Ache o limite usando a regra de lHôpital
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o valor de
Esse problema envolve cálculo de limites, e para resolver usando a regra de l’Hôpital, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tendam a zero ou infinito quando
se aproxima de 0. Vamos verificar isso nos próximos passos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0.
-
Numerador:Quando
, temos . -
Denominador:Quando
, o denominador também é 0.
Como ambos tendem a 0, podemos aplicar a regra de l’Hôpital.
Passo 3
A regra de l’Hôpital diz que se
ou
, então
Desde que esse novo limite exista. Então, vamos derivar o numerador e o denominador.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
-
Derivada do numerador
: Aqui, usamos a regra da derivada de funções exponenciais, onde a derivada deé . -
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de l’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, substituímos
diretamente na expressão: