Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=0^infty 1n^2+2 n+2

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=0^infty 1n^2+2n+2. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação para decidir convergência, lembrando também de p-séries.

Passo 2

Primeiro, observamos que o termo para n=0 é 1/(0^2+2cdot0+2)=1/2, um valor finito. A presença de um número finito de termos iniciais não altera o comportamento de convergência da série infinita.

Passo 3

Lembrando da p-série: a série sumn=1^infty 1n^p converge se e somente se p>1. Aqui, para grandes n, nossa soma se comporta como 1n^2, ou seja, um caso com p=2>1.

Passo 4

Para formalizar a comparação, note que para todo n>=1 vale
n^2+2n+2 >= n^2,
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0<1n^2+2n+2 <= 1n^2
Como sumn=1^infty 1n^2 é convergente, pela comparação direta a série dada também converge.

Passo 5

Concluímos então, pelo teste da comparação com a p-série de expoente 2, que
sumn=0^infty 1n^2+2n+2
é convergente.

Resposta

A série converge (por comparação com a p-série de expoente 2).

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