Avalie a integral.
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}-9 x-2}{x-2} d x
\frac{1}{6}\left(2 x^{3}+15 x^{2}+6 x\right)+C
\frac{1}{6}\left(2 x^{3}+15 x^{2}-6 x\right)+C
\frac{1}{6}\left(2 x^{3}+15 x^{2}+6\right)+C
\frac{1}{6}\left(2 x^{3}-15 x^{2}+6 x\right)+C
-\frac{1}{6}\left(2 x^{3}+15 x^{2}+6 x\right)+C

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}-9 x-2}{x-2}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é uma função racional com numerador de grau 3 e denominador de grau 1.
  • Há opções de primitivas fornecidas; precisamos encontrar a primitiva correta (uma única expressão com constante C).

Passo 2

Quando o numerador tem grau maior ou igual ao denominador, o primeiro passo é dividir polinômios para escrever a fração como um polinômio (quociente) mais um resto sobre o denominador. Isso simplifica muito a integral. Vou usar a divisão polinomial (síntese) para dividir
x^{3}+3 x^{2}-9 x-2
por
x-2.

Passo 3

Fazendo a divisão usando a técnica de divisão sintética com 2 (raiz de x-2):
Colocamos os coeficientes do numerador: 1,\;3,\;-9,\;-2.
Procedimento:
  • Baixa o 1.
  • Multiplica 2 por 1 dando 2; soma com 3 resultando 5.
  • Multiplica 2 por 5 dando 10; soma com -9 resultando 1.
  • Multiplica 2 por 1 dando 2; soma com -2 resultando 0.
Portanto os coeficientes do quociente são 1,\;5,\;1 e o resto é 0. Ou seja, o quociente é
x^{2}+5x+1
e o resto é 0.

Passo 4

Com a divisão feita, reescrevemos a função integranda:
\frac{x^{3}+3 x^{2}-9 x-2}{x-2}=x^{2}+5x+1+\frac{0}{x-2}=x^{2}+5x+1.
Como o resto é zero, a fração é exatamente o polinômio x^{2}+5x+1.

Passo 5

Agora aplicamos propriedades básicas de integração. Lembrete das regras que vamos usar:
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx e \displaystyle \int c\cdot f\,dx = c\int f\,dx, onde c é constante.
  • Regra de potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui cada termo é um monômio com n\neq -1, então podemos integrar termo a termo.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int (x^{2}+5x+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + 5\int x\,dx + \int 1\,dx.
Usando a regra de potência:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x.
Logo
\int (x^{2}+5x+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + x + C.

Passo 7

Simplificamos e colocamos em forma comum para comparar com as opções. Colocando denominador comum 6:
\frac{x^{3}}{3}=\frac{2x^{3}}{6},\qquad 5\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{5x^{2}}{2}=\frac{15x^{2}}{6},\qquad x=\frac{6x}{6}.
Somando:
\frac{2x^{3}}{6}+\frac{15x^{2}}{6}+\frac{6x}{6}=\frac{1}{6}\left(2x^{3}+15x^{2}+6x\right)+C.
Essa expressão corresponde exatamente à primeira opção fornecida.

Resposta

\frac{1}{6}\left(2 x^{3}+15 x^{2}+6 x\right)+C

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