Avalie a integral.
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Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral
Informações relevantes dadas:
- O integrando é uma função racional com numerador de grau
e denominador de grau . - Há opções de primitivas fornecidas; precisamos encontrar a primitiva correta (uma única expressão com constante
).
Passo 2
Quando o numerador tem grau maior ou igual ao denominador, o primeiro passo é dividir polinômios para escrever a fração como um polinômio (quociente) mais um resto sobre o denominador. Isso simplifica muito a integral. Vou usar a divisão polinomial (síntese) para dividir
por
Passo 3
Fazendo a divisão usando a técnica de divisão sintética com
(raiz de
):
Colocamos os coeficientes do numerador:
.
Procedimento:
- Baixa o
. - Multiplica
por dando ; soma com resultando . - Multiplica
por dando ; soma com resultando . - Multiplica
por dando ; soma com resultando .
Portanto os coeficientes do quociente são
e o resto é
. Ou seja, o quociente é
e o resto é
.
Passo 4
Com a divisão feita, reescrevemos a função integranda:
Como o resto é zero, a fração é exatamente o polinômio
.
Passo 5
Agora aplicamos propriedades básicas de integração. Lembrete das regras que vamos usar:
- Linearidade da integral:
e , onde é constante. - Regra de potência: para
,
Aqui cada termo é um monômio com
, então podemos integrar termo a termo.
Passo 6
Integramos termo a termo:
Usando a regra de potência:
Logo
Passo 7
Simplificamos e colocamos em forma comum para comparar com as opções. Colocando denominador comum
:
Somando:
Essa expressão corresponde exatamente à primeira opção fornecida.